大學線性代數知識點模板(10篇)

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篇1

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）11-0140-02

一、研究背景

線性代數作為諸多理工科課程的基礎課程，盡管本身學時不長，但對于后續課程的學習卻起著關鍵性的作用。在教學過程中既要使學生獲得必要的基礎知識， 同時又具有必要的基本能力。 能力的形成與思想方法的掌握是密不可分的。代數學的基本思想方法有技巧性的數學方法、邏輯性的數學方法、宏觀性的數學方法等[1]。關于如何合理安排教授內容章節來教授線性代數，許多高校組織了學者進行探討教改，并且整理出版了自己的教材，其中以同濟大學的教改成果尤為突出，其出版的《線性代數》第三版還獲得了2000年中國高校科學技術二等獎。我校也依據本校學生特點，重新編寫了《線性代數》[2]教程，在此基礎上，進行了一系列教改探討及教學建設，該課程也被評選成為江蘇省精品課程。

二、教授線性代數課程面臨環境

1.學生初次學習線性代數課程，會覺得該課程概念多而且抽象，實際生活中也難找到佐證。行列式，方程組、矩陣、二次型等概念框架思路不同，彼此間也難發現其深層次聯系，證明繁多，且思路與高等數學證明體系完全不同，初學者極易產生畏懼心理。

2.針對線性代數課程中所遇問題，很多專家學者給出了不同的授課模式，諸如探究式課堂教學、問題解決型課堂教學等模式，然而，對于以上的教學模式，首先對授課人數有了要求，小班教學情況下，才有探究式教學的空間，這對教職工人數和工作量安排提出了較高的要求，在一般工科學校中很難有這樣的教學環境;問題解決型更是對學生的基本數學素養有較高的要求，這對于線性代數這樣的為大一大二學生而設的基礎必修課而言，也有由較大的難度。

三、線性代數的教學嘗試

1.課程銜接

線性代數雖然課時不多，但是和高等數學一樣是整個大學學習的重要理論基石。這點可以由研究生入學考試中必含有線性代數部分可以得到體現。大部分學生都有在大學二年級學習線性代數課程，經過大一階段高等數學的學習，已經掌握了學習高等數學時不同于初等數學的學習方法，然而高等數學重視解題能力，強調學以致用，這一點在大學物理的學習過程中也得到了充分體現。初上線性代數課程時可向學生說明，作為基礎課程，不一定能做到理論映射到現實生活中。所謂的學以致用，線性代數也在強調工具的應用，但工具并非都是解決實際問題，解決數學問題、專業問題的也稱之為工具，線性代數這門學科主要鍛煉學生的抽象思維能力以及邏輯思維能力。這與高等數學體系的思維鍛煉側重點不一樣。當然，線性代數和高等數學也不是完全割裂的。例如說，可以在剛開始介紹行列式的時候提及解決隱函數方程組所用到的雅克比行列式，其實就是求解二元一次方程組的系數行列式。再如講到向量組的線性相關性，可以結合解析幾何中混合積的幾何意義加以釋義。諸如此類，讓學生能夠覺得數學課程雖然分類眾多，但彼此間聯系緊密。

2.確立主線

初學者在學習線性代數，容易被紛雜抽象的概念所嚇倒，有一定的消極心理，不能真正做到主動學習，即便學完線性代數課程，腦海中的印象也就止于一堆堆抽象的定義、枯燥的定理。其根本原因在于教師在授課時候沒有有效的給學生貫穿一條線性代數的學習主線，把繁多的知識點串聯起來。讓學生真正知道自己學到了什么，并用之于以后的進一步學習中。關于線性代數主線的討論，許多學者給出了自己的建議，有的從矩陣出發，有的從方程組出發，還有的從向量組出發，筆者認為以“初等變換”這一聯系方程組、矩陣、向量組三者之間的知識點作為主線或者更能收到成效。要把這一想法付諸實施，授課模塊的調整也是有需要的。將行列式和高斯消元法放至首章，緊隨著介紹矩陣的定義和基本性質，然后再轉入向量組的學習，在利用向量組的知識講解方程組解的結構時可進一步強調“初等變換”這一主線的重要性。

3.螺旋式切入

實際授課環境中，由于概念定理的抽象性，不可機械地填鴨式教育。根據德國心理學家艾賓浩斯的遺忘曲線理論，如果能增強知識點的螺旋式切入，不斷的用已經學過的知識點來“推陳出新”，讓學生做到前后銜接，融會貫通。例如：在方程組的講解過程中，利用高斯消元法求解方程組時，要重點強調“初等變換”知識點的學習，并將其作為后續知識點的重要串聯點。學習向量組的性質時，為了能呼應剛結束的方程組知識，可以通過分析線性齊次和非齊次方程組，利用方程組的初等變換來化簡方程組，可以得到關于向量組的兩個重要結論。

①即向量β可以由向量組α1，α2，…，αs線性表出的充要條件為以向量α1，α2，…，αs為系數列向量，β為常數項向量的線性方程組有解，并且每個解向量的分量就是一組組合系數。

② n維向量α1，α2，…，αs線性相關的充分必要條件是以α1，α2，…，αs為系數列向量的齊次線性方程組有非零解。

這樣從方程組的知識到的向量組知識構成一個有效過渡。對于矩陣而言，矩陣可逆的相關結論可作為聯系向量組，方程組，矩陣之間的重要紐帶。

例如 ，矩陣可逆矩陣滿秩;

矩陣行列式不為零;

行（列）向量組線性無關;

以該矩陣為系數矩陣的齊次線性方程組有唯一零解;

特征值均不為零;

任一可逆矩陣一定可以分解為一系列初等矩陣的乘積，即意味著可逆矩陣矩陣與任意矩陣相乘就是對該矩陣進行一系列初等變換。在這樣反復的把前面的知識點貫穿于新知識點的引入中，不但能使學生在初學概念時去除陌生感，也能同時鞏固了對于前面知識點的理解。至于相似矩陣和二次型的學習，更是將這方程組、矩陣、向量組的知識點交互在一起的效果得到集中體現。

4. 體驗數學之美

線性代數課程中盡管概念抽象，證明繁多，讓很多學生感覺頭疼，但如果選取一些典型證明，將證明思路詳細分析給學生，讓學生不僅在證明中學到如何應用理論，從而避免了枯燥記憶的努力，同時也去除了定理太多，以至于無所適從的茫然，也讓學生可以從中學習到代數思考的方式，這點也是與高等數學不同之處。讓他們在其中體會到邏輯之美，數學之美，或許能激發學生對于抽象數學的熱忱。例如：定理3.7 矩陣的秩等于其列向量組的秩[1]，該定理的證明值得好好講解。學生能夠從其中仔細體會到行列式、方程組、向量組知識點互相轉換的思考模式;再如線性空間的定義，可從一些簡單的線性空間得介紹中體會到抽象數學之美;講到線性空間的基底和坐標時候，線性空間中向量之間的線性運算可以借助于其一一對應的坐標的線性運算來實現，這樣就可以一般線性空間與我們熟知的 維向量空間之間的同構，借此可以了解到不同線性空間的結構。進一步，在不同的基底下可以得到不同的坐標系，可以適當介紹仿射坐標系，并與熟知的空間直角坐標系作類比，順帶引出施密特標準化，并介紹其應用價值，并進一步引出一種特殊而重要的線性變化--正交變化，其在實際應用中可起到旋轉坐標系的作用，解決了非標準二次曲面化標準型問題。

五、結束語

線性代數課程很緊湊，內容卻很豐富，最能體現出代數學思想的就是線性空間部分，然而因為課時原因，線性空間教學部分被大大壓縮，如何能夠調整知識點，把線性空間的思想融入到課程當中去，也是一個重要課題。在探討不同教學模式的同時，對于知識點的分配和講解串聯，也需要教師們加強內功修養，讓學生能夠更好地學習線性代數。

參考文獻：

篇2

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）28-0235-02

線性代數作為高等院校的公共基礎數學課，由于其與理工、經濟、管理等學科的專業課聯系緊密，因此也是這些專業的重要基礎課。同時，在當前我國碩士研究生入學統一考試中，有相當多的專業，如理工、經濟、金融、統計、管理等都要求考生要具有一定的線性代數水平，從而線性代數亦是部分學生繼續學習和深造的重要工具和理論基礎。通過線性代數這門課程的學習，學生能獲得邏輯思維能力、計算能力以及抽象分析、綜合和推理能力的訓練。這些對綜合能力的培養非常有意義。

為了讓學生能更好地學習這門課，筆者結合自己多年的教學實踐，針對線性代數的課程特點和學生的實際情況，對線性代數教學中存在的一些問題進行了分析，提出提高線性代數教學質量的幾點建議，進而取得良好的教學效果。

一、線性代數教學中存在的問題

對于學生來說，線性代數的內容跟以前學過的數學知識相比是完全不同的，線性代數這門課程有著抽象的內容，大量的概念、定理和復雜的解題方法以及獨特的證明方法，學生對于這些都很難理解，更不要提接受了。由于大學除了學習，課余生活也豐富多彩，這就導致學生在理解相關理論和對應的解題方法上無法投入充足的時間。再加上傳統的授課方式和相對單一的教學手段在目前的線性代數教學過程中占有很大比重，整堂課下來，滿黑板的知識點和推導理論，雖然體現了系統的理論體系，學生聽課時也感到條理很清晰，但在課下練習做作業時，卻不知道怎么去思考下手，時間一長，就會慢慢的討厭學習線性代數這門課程，進而就會喪失掉了探討該課程的學習興趣。因為線性代數學科的很多問題與解題方法都是相互對應的，不同的問題有著不同的方法，有時雖然問題類似，但解決問題的方法卻是不一樣的，做題時，如果所用的方法是錯誤的，其結果可能就會相差十萬八千里。這就要求學生通過對每個知識點需要做的很多不同的練習，才能熟悉不同的解題方法，學生不僅必須牢固掌握各種線性代數的知識，而且要知道各個知識點之間的聯系與區別。

二、結合實際，對提高線性代數教學質量的幾點建議

（一）梳理課程知識結構，優化設計課程體系

線性代數課程內容主要包括行列式、矩陣及其運算、線性方程組、向量組的線性相關性、二次型、線性變換與線性空間等理論，概念多且抽象，如矩陣的秩、極大線性無關組、二次型等，但是這些理論并不是孤立的，它們之間有著密切的聯系。線性方程組是整個教材的主線，而研究線性方程組相關問題需要利用行列式、矩陣、向量等工具。在求解線性方程組時，介紹了行列式的概念，分析得出了行列式的性質，可以利用性質去計算行列式，進而解釋了克萊姆法則應用的局限性，接著利用矩陣、向量等數學工具來分析二次型。所以在課堂教學中，就需要牢牢抓住主線，梳理學科的知識點，抓住各知識點之間的內在聯系，尋找最恰當的切合點和問題切入方式，指導學生將各個知識點串起來，進一步在教材安排的基礎上優化課程體系，會讓學生更好地理解和掌握知識。

線性代數課程體系一直比較穩定、完善的發展，但在教學過程中可以穿透與其他學科的聯系。事實上，相當多的教師在教這門課程時只注重自己的課程理論，而忽視其他學科領域與線性代數課程相聯系的理論，導致學生不知道怎么應用他們學到的知識，這樣就要在課堂教學過程中注意把線性代數課程的實用性充分體現出來，并積極優化教學方法，完善教學模式，緊密聯系交叉學科，建立多樣的課堂活動，才能實現教學的目的。

（二）教學要富有導入性和啟發性，例題講解要突出解題方法、步驟，因材施教

首先，由與上一章節的知識點有關的例題順其自然地引出新一章節的知識點，對基本概念加以形象化。在講授行列式時，可以利用二元線性方程組引出二階行列式，進而由三元線性方程組引導出三階行列式，進而分析得出n階行列式的定義。這樣的教學設計自然而然，學生不會感到突兀。

其次，在講授定理和定理的證明時要注意調動學生的思維，使邏輯推理能力得到提高。提煉總結并重點傳授定理證明過程當中用到的一些好的方法和精辟的思路，講解例題時應盡量把解題思路講得清楚明白，這是因為線性代數作為一門應用性學科，要有特別強的會直接應用理論的技巧，這就要求學生不僅要牢固掌握各種線性代數知識，而且還要掌握各種計算方法和解題技巧，這樣才能保證解題時有著正確的解題思路。

最后，教師要因材施教。這是因為由于不同學科的專業培養要求不一樣。非理工科對線性代數這門課程的要求比較低，這些專業的學生只需要在對基本的知識點理解掌握的基礎上，了解線性代數的一些特有的解題方法和思路。教師在進行課堂教學時就可以把教學重點放在講授解題的方法上，而對于對線性代數的要求比較高的理工科專業的學生，不僅要求其熟練地掌握各種解題的方法，更要求其完全理解并掌握相關知識要點，這就要求在課堂教學過程中授課教師既要傳授方法，更要詳細、深入、全面地講解相關理論。

（三）合理有效綜合利用教學手段，增強課堂教學效果

授課時要有機結合傳統的教學方法與現代化授課輔助工具。教學中應以黑板為主，以多媒體為輔。比如對矩陣進行初等變換時，單純只用粉筆板書顯得煩瑣混亂，因此可以采用多媒體演示。但是為了保證學生能準確把握重點、難點，切忌單純只用多媒體演示這一種教學手段。其次，合理恰當的使用數學軟件。非數學專業的線性代數課程，要把教學重點放在這門課程的實際應用上，否則學生的學習興趣會下降，這就達不到良好的教學效果。在課堂教學過程中可以利用能進行復雜計算的應用數學軟件，簡化理論的推導，這就需要廣泛開拓線性代數在各個研究領域中的實際應用價值。

（四）重視習題和習題課的作用

學生可以通過習題來加深鞏固理解掌握所學內容。因此在習題課上，教師可以梳理、分析、串聯一整章的知識點，可以講評作業，還可以講解一些典型題，這將有助于加深學生對解題思路及方法的掌握。

（五）拉近學生與學科的距離，激發學生的學習興趣

“興趣”是學習的最大動力，所以要注意引導培養學生對線性代數這門課程產生興趣，這樣學生才有可能學好這門課。在教學過程當中，要盡量聯系以前學過的數學知識點，重點突出利用線性代數的思想和方法處理問題的優越特點，使學生逐步熟悉這門課程，明白可以利用線性代數工具來快捷有效地解決實際問題。讓學生通過對矩陣求解線性方程組的解法與中學數學中的消元法兩種方法的對比，激發學生的學習興趣，調動學生的學習主動性，自主學習。

三、結語

線性代數的教學面臨著很多問題，教師的責任重大。在授課的整個過程，任課教師既要提升個人在教學方面的能力和水平，改革教學時所用的方法，改善授課的手段，更要注重引導和培養學生對該門課程的學習興趣，深入發掘學生的學習積極性和主動性，培養學生的學習方法與創新思維能力，這將更加有助于全面深入地提升教學質量。

參考文獻：

[1]同濟大學教研室.線性代數[M].第5版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]符清恒.淺談線性代數的教學[J].科技資訊，2010，（16）.

篇3

線性代數作為高等院校的一門重要公共課，幾乎全部的本科專業都已開設該課程，這也能體現其實用性.線性代數從研究抽象的邏輯推理、科學計算再到實際應用，處處都能培養學生最基礎的數學能力.最為關鍵的是，線性代數已為其他教學提供了有益、實用的數學工具與手段，更有利于不同教學門類之間的融會貫通，由此可見學好線性代數的重要意義.本文從線性代數的教學現況出發，通過簡要地分析若干教學例子，就線性代數的高效化教學提出一些可行性措施.

一、推進線性代數教學的高效化所要解決的問題

1.缺乏背景知識的講解

線性代數作為一門必修課，其理論體系日臻健全，不過因科技進步與教育教學體制的深化，近些年來，對于線性代數背景改革的探討也在日益發酵.就目前而言，高校雖普遍開設線性代數教學，但教學的內容未有實質性的創新，數學的重要背景知識被嚴重忽略，證明例題與重要定理依然占據教材的相當版面，致使學生不知“為何而學”，教學效果不見起色.

2.教學質量有待提高

現今高校片面地注重科研、輕視教學，這也讓教師在很大程度上把教學的重心放到科學研究上.誠然，科研會極大地推動教學，不過，教學畢竟用于實踐，更是知識與技能的升華與釋放；而科研僅是汲取和革新知識的過程.假若不能正確地對待與處理兩者的內在關聯，則會損害線性代數的教學質量和效益.

3.教學中未體現其實用價值，影響高效化課堂的打造

一方面，線性代數教材中的例題和習題占據絕大部分內容，特別是習題，雖習題是本著強化知識的原則而科學設置，然而，習題本身也未能同生活實際進行緊密結合，學生們常感到解答題目無多大意義；另一方面，在大學生面臨更嚴峻的就業形勢的情形下，學生難免有急于求成的心理，期盼著學以致用.一旦線性代數的學習內容與就業或生活相脫節，大家會立刻喪失學習的基本興趣與熱情，甚至對枯燥的公式與定理產生抵觸情緒，教學的高效化也就無從談起.

二、線性代數高效化教學方法分析

1.將多媒體運用到教學的每一環節中，激發學生學習的興趣

眾所周知，新課程理念在教育界已深入人心，多媒體也成為教學的重要輔助手段.傳統意義上，教師與學生仍延續“一對多”的低效教學模式，這種模式無論從教學效率還是課堂氛圍都是不符合新課改原則的.長此以往，教師因不清楚學生對抽象的線性代數概念、定理、公式的認知與把握，便會阻礙教學進度，妨礙師生之間的有序溝通與互動.基于此，借助于多媒體這一圖文并茂、視聽結合的先進技術手段，教師與學生在每一個教學環節均能實時交流，每一教學知識點的講解，學生們均能化“抽象地聽講”為“清晰地理解”.同時，教師采用在黑板上列出課堂筆記與制作多媒體課件相融合的方式，從知識點細微處出發，從結構上捋順，學生們便會學有所獲，通過豐富有趣的課件打破死氣沉沉、壓抑的課堂氛圍，激發學生探索線性代數奧秘的興趣，把學生的課堂注意力高效地集中起來，引領學生在趣味教學的氛圍中獨立思考，及時解決問題，凸顯課堂的高效運作.

例如，學習“行列式與矩陣”時，由于學生常把兩者的定義相混淆，將其符號或計算方法混為一談，教師便要借助于多媒體展示信息量大、直觀、清晰優勢特征，將行列式與矩陣的概念、計算方法等知識點和例題制作成多媒體課件，學生們在課堂教學中通過細致觀察，便能解開學習過程中的“死結”，從課件中更清楚地理解行列式的本質是在明確某一類運算規律之后經由計算得到的一個數，而矩陣則代表由若干數字形成的一個表.當然，通常意義上，行數不等同于列數，僅兩者相同的矩陣才擁有相應的行列式.通過多媒體課件對知識點的梳理與對比，大家不但能糾正、避免上述錯誤，還能懂得線性代數教學中，善于總結、高效學習的意義所在.

2.創新教學手段與途徑，提高教學質量

誠然，線性代數抽象性較高，邏輯推理十分縝密，原本機械化的講解與程式化的理論讓內容變得更難于理解.教師需換位思考，意識到創建高效化課堂需打破陳舊的、老套的教學模式.為此，教師需從學生實際的數學水平與學業能力出發，不失時機地變革與創新教學途徑和手段，變過往“被動地講授”為學生“主動地探究”，徹底摒除“一言堂”式的落后教學模式，時刻讓學生扮演教學的“主人公”.

例如，高等數學中有一類很重要的思想——數形結合，這便離不開數學建模的引進.在教學中，教師要將數學建模融合與教學內容進行有效結合，鼓勵和鞭策學生充分調動自身的主動性、積極性和創造性去探究未知知識，切實把抽象的線性代數知識通俗化、簡易化.講述矩陣的“特殊向量”及“特征值”時，學生通過研究例題與教師講授，僅知怎樣求特征向量與特征值，對兩個概念的含義認識不清.教師不妨從幾何意義，通過畫出橢圓的方式，將抽象的概念融入到圖形之中，促使學生從直觀的角度加深對兩個新概念的理解與掌握.這樣一來，大家在學到新知識、理解新定義的同時，教學質量自然而然也獲得了提高.

3.巧妙引入教學的背景知識，注重知識點的介紹方法

學生們常會有這樣一種感覺：線性代數在引入新概念時，如若沿用純粹定義和推導加定理的方式，會嚴重挫敗學生探究、掌握知識的積極性，也達不到深刻理解概念的目的.有鑒于此，現今不少學生在線性代數的學習時，便會純粹地應付題目，對教學中的背景知之甚少.為緩解、避免這種教學現象，教師需對線性代數的背景知識進行簡要的介紹.學生們通過了解線性代數中概念的來龍去脈，有利于激活自身的想象力和創造力，深化對這些概念與知識點的理解，進而擴大知識范圍，提高數學修養.

例如，行列式是學生初學線性代數時所接觸的概念，如若教學處理不當的話，教師直接講述抽象的定理與計算方法，那么學生會對線性代數產生厭倦情緒，不利于線性代數教學的后續開展，更不必說教學效果的提高了.從這個視角上看，教師需向學生們補充一些關于行列式起源的故事.在課堂上，教師可采用教具與多媒體相結合的方式，讓學生們欣賞萊布尼茨與關孝和的歷史照片，大家對這兩位行列式“先祖”的生平與數學成就有一個宏觀認識后，學習興趣會大增.教師要“趁熱打鐵”，活躍課堂氛圍，告知學生行列式是為解答線性方程所引入的數學工具.由此一來，大家獲取知識的熱情會進一步上漲，教學氛圍會變得異常生動活潑，學生們也不會漫無目的地學習、訓練，大家會以兩位數學家為榜樣，汲取和吸收他們身上高貴的科學精神與氣質，在學習中主動把行列式的概念與計算方法同生活實例相聯系，更能體現教學的實用性.

4.增強學生的應用意識

如今，高等院校越來越注重學生實踐能力與應用意識的考核與培養，線性代數無疑給全體高校學生提供了難得的實踐應用平臺.實際上，線性代數隸屬于數學，但其應用范圍已遠遠超過數學領域，在密碼學、生物學、物理學、經濟學等諸多學科中均有廣闊的用途.所以說，教師需在課堂上通過列舉應用案例的形式，不斷培養學生的應用能力，真正實現學以致用、學用相長.

例如，在信息技術日新月異的今天，計算機輔助設計、密碼學和圖形學等現實技術無一不以線性代數作為理論根基，而相當一部分學生對這些方面頗感興趣.因此，教師不妨在線性代數教學中適當地滲透相應的知識要點，并重點讓學生理解和熟知線性代數在這一系列學科中的應用狀況，為其做一些點撥與導向工作.

5.引入實驗優化教學內容，發揮學生教學主體地位

教師可通過線性代數軟件鼓勵學生設計和解決若干問題，引領學生在實踐中進一步理解、深化、運用所學知識，掌握線性代數的基本規律，了解常用的計算方法，進而完全掌握線性代數的基本理論、基本運算、基本知識.經由這樣的學習與訓練，學生們在熟練掌握的基礎上，熟能生巧，有所創新.數學實驗便是一種借由實際操作獲取解決問題方法的有效手段.在新課改的大背景下，數學實驗作為學生自主學習的動力和源泉，對學生培養自主學習能力和創新能力是大有好處的.

結語

總而言之，線性代數教學的質量高低取決于師生共同努力與良好課堂環境的形成.教師應不斷推進教育教學改革，正視阻礙線性代數高效化教學的問題，積極嘗試各種激發學生興趣、挖掘學生潛能的教學措施，力促線性代數教學收獲事半功倍的效果.

【參考文獻】

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[2]肇慧，王曉丹.課題研究式教學：線性代數教學的新嘗試[J]. 中國校外教育（理論），2009（1）.

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[4]于妍，董波.淺談農業院校線性代數教學改革[J]. 科教文匯（中旬刊），2011（4）.

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篇4

中圖分類號：TP3 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）16-3851-03

Abstract： Aiming at students' learning linear algebra difficult reason analysis， the introduction of Matlab in linear algebra， the necessity of teaching reform and innovation.Through Matlab in the teaching of the elementary matrix and practice demonstration， visual image to enable students to understand and grasp knowledge of linear algebra， linear algebra for subsequent study to lay a solid foundation.

Key words： Linear algebra.Matrix；Elementary matrix；Matlab；teaching

隨著現代數學的不斷發展，線性代數的理論和方法已經滲透到數學的許多分支。線性代數作為討論矩陣理論、與矩陣結合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學科，被廣泛應用于物理、力學、信號與信號處理、系統控制、電子通信、航空等學科領域，因而成為現代各高等院校工、管、理專業的一門重要基礎課程，成為用數學知識解決實際問題的一個強有力的工具。

1 學生學習線性代數的現狀

線性代數在其發展過程中所表現出的幾何觀念與代數方法之間的聯系，運用第二代數學模型的公理化表述方式的知識體系，使得當我們開始學習線性代數時，不知不覺就進入了“第二代數學模型”的范疇當中，這意味著數學的表述方式和抽象性有了一次全面的進化，這給教學帶來了困難。線性代數知識體系所表現出的較強的理論性和抽象性，使初學線性代數的學生在學習過程中感到困難，同時在課程中又涉及到一些較為繁雜的計算或證明，這些課程特點讓許多學生很不適應，久而久之將導致學生產生厭學情緒。因此，如何讓學生克服畏難心理，盡快適應運用第二代數學模型的公理化表述方式的線性代數課程，有必要對傳統的線性代數教學方法和手段進行改革創新。為此在教學過程中引入Matlab軟件，改變傳統的教學方法和學生的學習方式。在教學過程中運用Matlab進行實例演示，同時讓學生通過Matlab進行練習，通過這樣的教學幫助學生克服學習困難，能夠直觀深入理解和掌握知識點。下面以初等矩陣的學習介紹Matlab在線性代數教學中的應用。

2 矩陣中的初等矩陣

矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算，它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣理論的探討中都可起到重要作用[1]。在矩陣理論中有一個最基本的性質，即以下定理：

設[A]與[B]為[m×n]矩陣，那么：

1）[A][～r][B]的充分必要條件是存在[m]階可逆矩陣[P]；使[PA=B]；

2）[A][～c][B]的充分必要條件是存在[n]階可逆矩陣[Q]；使[AQ=B]；

3）[A]～[B]的充分必要條件是存在[m]階可逆矩陣[P]及[n]階可逆矩陣[Q]；使[PAQ=B]；

為證明此定理，則引入了初等矩陣的概念，即由單位陣[E]經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣[2]。三種初等變換對應有三種初等矩陣，這里把它叫做初等矩陣E1，初等矩陣E2和初等矩陣E3。這部分內容是矩陣教學中的一個難點，為讓學生能直觀地理解和掌握，引入Matlab進行教學。

2.1初等矩陣E1

把單位陣E中第i，j兩行對調，得初等矩陣E（i，j），即E1=E（i，j）。用E1左乘矩陣A相當于對矩陣A施行一次初等行變換；用E1右乘矩陣A相當于對矩陣A施行一次初等列變換。

啟動Matlab程序，在命令窗口中輸入以下命令（這里運算結果略）。

按照以上方法直至將矩陣A化為行階梯形矩陣。由此可知矩陣A經過一此初等矩陣的相乘可化為行階梯開矩陣，進一步運用這樣的方法可將矩陣A化為單位矩陣。因此，通過教學演示和練習可讓學生直觀地充分理解三類初等矩陣的作用，理解和掌握矩陣理論的基本性質，為學習求逆矩陣的初等變換方法及后續知識打下較好基礎。

4 結束語

在線性代數中引入Matlab軟件進行教學，通過教學過程中的演示和練習，一方面能夠讓學生克服畏難情緒，提高學生學習線性代數的興趣，另一方面能夠讓學生直觀地理解和掌握線性代數的知識點，進一步提高線性代數的課堂教學質量。

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系.工程數學?線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007：57.

篇5

線性代數是國內高等高校中一門重要的基礎課程，是理工科專業及經管類專業必修的一門公共基礎課，該課程在數學建模、經濟、農業等學科中應用廣泛，正如美國著名數學家David C.Lay所說：“線性代數是最有趣、最有價值的大學數學課程”[1]，但該課程內容抽象、邏輯性強，使學生學習積極性不高，學習成果偏低。近年來互聯網行業飛速發展，互聯網在各行各業得到充分應用，“互聯網+”應運而生。“互聯網+”是指利用互聯網技術優化原有的生產配置，從而提高創新力和生產力。結合線性代數課程的特點，在“互聯網+”背景下對線性代數教學模式的研究是線性代數教育工作者應該思考的問題。

一、線性代數課程教學現狀

1、課堂教學方式單一

現階段很多院校已經采用多媒體教學，但也有相當比例的院校數學課程不采用多媒體，教師采用填鴨式教學方式，講授為主，整個教室是老師一個人在表演，學生很難參與到教學中。而很多院校面臨線性代數內容多，課時少，老師在教課過程中注重教學進度而忽略了學生的接受程度，在課堂上給學生獨立思考問題和提問問題的時間也很少，使學生學習主動性欠缺。

2、未能正確運用多媒體

合理運用多媒體可以更好地輔助教學。例如在學習行列式和矩陣運算時，運用多媒體通過課件的形式展現出來，節省很多時間，而且邏輯性和推導過程清晰。而目前很多教師僅是將課件簡單展示，并沒有起到很好的作用。

3、教學過程中缺乏知識點應用性講解

在教學過程中如果多講解一些例題和知識點應用，學生普遍反映很好，但實際的教學實踐中，因為時間有限，講解應用的例子很少，學生僅僅知道理論，在實際應用時卻不知如何做，從而在專業課學習中需要用到線性代數時也很難聯系起來。

二、“互聯網+”背景下線性代數教學模式的研究

1、以精品課程等網絡資源為依托，培養學生的自主學習能力

隨著網絡技術的飛速發展，“互聯網+”教學模式在高校中不斷展開。線性代數作為一門重要的公共基礎課，網絡資源非常豐富。從2003年起國內高校不斷開展線性代數網絡精品課程，分為國家、省市和學校等不同層次，麻省理工學院也開展了視頻公開課，這些對于線性代數在“互聯網+”教學模式的順利進行提供了基礎和保障。線性代數內容多，課時少，課堂教學時間有限，教師應引導學生利用課余時間有效利用網絡資源，提高自身的自主學習能力。學習能力的提高，對學生是終身有益的。

2、采用“微課”、“慕課”和“微彈幕”等新的教學模式

近年來“微課”、“慕課”和“微彈幕”等新的教學模式不斷出現在高校課堂上，教師事先設計好內容和題目，借助互聯網，在上課前對學生進行引導，學生在課余時間，利用網絡資源探究學習，這樣在課堂上由原來教師主導的教學轉變為教師引導教學，在課堂上學生通過討論會加深對知識點的理解，而自主學習能力會大為提高。基于互聯網技術，“翻轉課堂”效果才能發揮的更好。

3、講解常用的數學軟件，引導學生探究學習

在專業課學習中，很多知識以線性代數為基礎，比如圖形學、經濟學、工程力學等，而在線性代數中計算相對繁瑣，例如解多元線性方程組，需要很多步驟才能求解出來，這使得學生感覺難度比較大，但是數學軟件卻很容易解決這種計算過程復雜的問題。常用的數學軟件主要有MATLAB、MAPLE、MATHCAD等。MATLAB在線性代數計算中應用最為廣泛，具有強大的數學功能，可以計算矩陣的各種運算，求解線性方程組，還可以自行構造合適的函數。教師講解常用的數學軟件，有助于學生學習專業課，從而加深了線性代數基礎課和專業課的聯系。

4、滲透數學建模思想，提高學生的創新意識

數學建模是建立數學模型、利用數學知識和計算機技術等方法解決實際問題的過程。數學建模是將數學基礎知識應用到實際問題的重要途徑，體現了“用數學”的思想。線性代數里的基礎知識大多枯燥，若跟實際問題相聯系會增加趣味性，所以在講解基礎知識時要與數學建模相結合。在講解數學原理時，首先通過實際問題引入，融入數學建模思想。教師應了解線性代數的發展史和發展動態，提高自身的綜合素質和數學建模意識，從而提高課堂的教學效果。

此外，教師應鼓勵學生積極參加數學建模競賽，以檢驗學生的學習效果，提高課堂效率。現在的數學建模競賽越來越和實際生活結合，注重學生的解決實際問題能力和綜合運用知識能力。

5、建立高效的交流平臺

互聯網為現代式教學提供了快捷的交流平臺，教師通過QQ、微信、論壇、微博等與學生進行交流，及時反饋學習問題，有利于數學知識的獲取。有了這種交流平臺，在課堂之外師生之間的溝通更便捷，利于對個別學生的輔導和答疑，實現教學模式的多元化。教師可以將自己的學習資料或有用的數學軟件，通過群共享，方便學生下載學習。同時面向所有任課老師和學習線性代數的學生建立“線性代數學術交流群”，師生可以通過群進行學術交流和資源共享。

【參考文獻】

篇6

線性代數課程是大學的一門基礎數學課程，它是學習本科階段數學課程，比如矩陣論、最優化理論與方法、運籌學以及專業課程，比如自動控制原理、線性系統理論等課程的基礎，是學好這些后續課程的前提條件，也是學生進一步深造進入研究生階段學習的前提。然而，由于該課程抽象枯燥容易造成學生學習興趣不濃，學習熱情不高，學習動力不足，再加上很多高校該課程的課時緊等諸多因素，往往致使學生學習效果差。因此，探討提高線性代數課程的教學效果尤為必要。

20世紀60年代以來，歐美等發達國家在國家教育戰略規劃下，提出了基于問題的學習模式，產生了良好的效果。基于問題的學習是一種發現探索式的學習，是一種促進創造性思維發展的研究性學習方式。20世紀60年代以來，美國一流大學為本科生提供機會，讓他們積極參加本科生科研項目的研究活動。20世紀80年代中后期，“本科生參與研究”逐漸被美國的教育界所重視。“本科生參與研究”成為了本科生教育改革中的一個重大舉措，美國研究型大學一般都設有校級本科生科研管理機構。清華大學也提出了“創建研究性的本科教學體系”，是在國內進行研究性學習的一個初步嘗試。教育部在“985”“211”高校推行本科生創新計劃，目的在于高年級本科生參與科研，養成科研創新意識。

所謂研究性學習，是指在教師指導下，學生根據各自的興趣、愛好和特長，選擇不同研究課題，獨立自主地開展研究，從中培養創新精神和創造能力的一種學習方式。

教師講授、學生聽講，是當前大學課堂的主要教學方式，而且很多高校線性代數課程課時少、進度快，采用大班教學，課堂開展研究性學習比較困難。我們選擇在平時將研究性課題的題目布置給學生，將學生分組，讓學生利用課余時間做研究，最后形成研究報告。

為了保證研究性學習的順利進行，教師根據教學的具體情況創設問題情境，促進學生思考，使他們發現問題，并激發他們探索的動機。教師要提供有關文獻資源，以供學生檢索研究。筆者認為，我們可以根據教材的主要內容、知識、方法來設立研究課題，也可以根據近年來相關領域研究的熱點，比如從近兩年來的國際數值代數會議的內容，了解與線性代數課程相關的熱點來確立研究課題。筆者曾在教授線性代數課程時提供如下課題：（1）概念定理的延伸；（2）教材中相關知識點設成的專題；（3）圖像處理中的矩陣計算；（4）線性方程組的常見數值計算算法；（5）大規模線性方程組的數值算法、稀疏線性方程組的求解算法。課堂上概念或定理的引申，可以鞏固基礎還可以培養學生的創新能力；對相關知識點形成專題性的研究性學習，可以培養學生搜集資料，再進行歸納總結的能力，有助于啟迪學生從熟悉的知識點上探索出新的問題。對后四個課題的研究性學習，激發了學生的學習興趣，促進了交叉學科的學習，拓展了知識視野，學生學會了一些科研方法，綜合提高了全面素質。

矩陣是線性代數課程中的一個重要概念，矩陣的秩、矩陣的初等變換是線性代數中研究線性方程組的重要工具。在講矩陣時常常會介紹財務報表，學生的成績表就是一個矩陣。圖像處理是近幾年來研究的熱點，矩陣是圖像處理中的一個基本工具，因此可以將圖像處理中的矩陣計算問題作為一個研究課題。

線性方程組是線性代數的重要內容，教材中研究線性方程組的解的結構、通解的求法。大多線性代數教材沒有介紹線性方程組的數值計算，線性方程組的數值計算可以作為一個研究課題。近年來壓縮傳感是一個研究的熱點，該領域研究線性方程組的稀疏解的計算，而且往往是大規模的線性方程組。大規模線性方程組的求解是近年大數據時代研究的一個熱點，大規模線性方程組的數值算法、稀疏線性方程組的求解算法都可以作為研究的課題。

教師要引導學生通過對問題的分析、探索，進行假說、討論或歸納等一系列再發現的認知操作過程，尋找解決問題的方式。另外，學生在研究性學習中占有主體地位，所以要求學生具有一定的數學以及其他各學科的知識基礎，具有較高程度的學習自主性。同時，學生還要有能力安排自己的研究活動，并利用可用的學習資源。

另外，在課外開設新生研討課是開展研究性學習的有效形式。清華大學、南京大學、浙江大學等高校引進新生研討課，大部分學生認為研討課討論氣氛活躍、主題深入，拓展了知識視野，提高了口頭表達能力。他們在研討課上學會了一些科研方法，學習方式也從被動學習變為了主動學習。哈佛大學認為，從大學生一入校，大學的主要努力方向就是使他們能夠成為參與發現、解釋和創造知識或形成新思想的人，這彰顯了大學研究性學習最基本的價值觀，也是研究型大學在發展學術、開展科研過程中應當要確立的目標。

篇7

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

從2011年開始學院把線性代數這門課安排在大一第一學期，這是教學改革的一個舉措。這時候的學生是剛剛從中學過來的，中學數學的一些固有模式，還深深印在他們的腦海里，那么我們怎樣通過線性代數這門課，很好地轉換學生的數學學習習慣，培養學生的數學思維，以便他們更好地適應線性代數學習呢？

線性代數是大學必修的一門課程，學生在剛開始學習的時候普遍認為難學。抽象的理論，枯燥的計算，繁多的符號令人乏味，有些學生慢慢地失去了學習的興趣和動力。那么對于這些高考闖過千軍萬馬以優異成績進入大學的學生來說，難道沒有能力學好線性代數嗎？那么為什么還有些學生學不好呢？究其原因就是沒有很好地做到從中學數學到線性代數學習的過渡。

1 知識和學習方式的區別

1.1 線性代數與中學數學的區別

中學數學與線性代數在思想方法上具有差異。如果說中學數學是用“靜止”的觀點去研究問題，那么，線性代數則是一種“運動”的觀點在發現、研究、解決問題。比如在中學中解方程組就有一種固定的方法消元法，在線性代數這門課里線性方程組的解法不一，并且解得情況也很多樣。中學數學通俗易懂、直觀性強，線性代數的內容就嚴密抽象、理論性強，更多的是使學生關注數學知識本身的系統性和完整性。其次，中學數學的進度慢，教員以知識點傳授為主，在課堂上有足夠的時間可以通過高密度提問、細致分析、反復訓練，將知識點講深講透。而線性代數的教學時間非常有限，課堂教學更注重對基本概念的理解、抽象論證和實際應用，以數學思想和知識整體結構為主，側重數學思想方法的運用，課堂行為主要是通過板書結合多媒體傳授教學內容。

1.2 學生學習方式的不同

首先，中學生在學習方式上主要依賴于老師，主體意識不強，沒有形成獨立思考、獨立解決問題的能力。而學生進入大學后，線性代數的廣泛性、抽象性和實用性遠遠高于中學數學，僅靠課堂上聽講，對知識的理解不可能達到“通、透、化”的程度，要求學生在學習過程中必須做到課前預習和課后復習，學會歸納和總結，更需要學生具有學習的主動性與自覺性。其次，中學生學習數學是以“數學知識點為中心”，學多以高考為目的。表現在重數學基礎知識，輕能力培養，重數學結論，輕思維過程。而升入大學以后，學生不僅要學習數學的基礎知識，更要了解、掌握數學的思想與方法，培養、鍛煉自身的歸納綜合能力、實際應用能力和探索創新能力。

2 教員的教學方法

在以往的教學中，線性代數的上課時間在大一的第二學期，這時學生經過一個學期線性代數的學習已經有了初步認識，而現在是第一次接觸線性代數，那么在教學活動中，教員的教學方法就要有所改變。首先教員在備課中，不但要備教材還要“備學生”。“備學生”主要是在線性代數課堂教學活動前，對學生進行調查，分析摸清學生對學習線性代數這門學科的起點水平，學生的數學基礎；摸清他們對數學的認識水平；摸清他們學習該課程的心理狀態；了解學生的學習習慣、方法、風格和特點，根據上述信息作為后續備課活動的主要依據。在教學方法上更要做到以下幾點：

（1）采取先慢后快，逐步提高的方法。教員在講課的時候先盡量放慢速度，一方面可以讓學生能更加深刻地理解概念，另一方面也是對中學數學教學方法進行延續，特別是在抽象符號和邏輯語言出現時。當學生適應大學的學習方法后，再視情況把教學進度逐步加快。第二，不要以理論推導為主，更不要讓學生為了追求高分而過分看重數學的邏輯性和嚴謹性。在適當的時間里還應推廣數學的直觀化和形象化等特點，提高學生的數學應用能力。第三， 注重課堂教學方法的多樣性。要丟掉傳統教學思想的包袱，適當引入一些非常規方法，比如“問題式”教學法，肯定會得出意想不到的效果。一堂好的數學課應該是師生、生生間有效合作的結果。為學生提供足夠的思維空間可以有效提高學生的探究能力。

（2）培養學生獨立思考的能力，加強線性代數與中學數學之間學習方式、方法的銜接。首先，培養學生良好的學習習慣和學習方法。良好的學習習慣和方法是學好數學的一個重要因素。對于學生在高中時所養成的好的學習習慣, 教員應明確要求學生繼續保持。在教學中教員應向學生指出學習線性代數需注意的事項，指導學生怎樣去自學，包括讀什么樣的課外書、參考書，請高年級學生談體會講感受等，引導學生形成自己的學習習慣和方法，少走彎路，盡快適應線性代數的學習。比如可以指導學生看一些線性代數應用方面的書。其次，發展學生積極的自我學習管理能力。在每一章、每一節課教員都應向學生交代清楚本章節的研究對象是什么、研究方法是什么、研究目標是什么、它在整個課程中占什么地位、與其他章節又有什么關聯等，或者是讓學生自己進行總結，這樣不僅能激發學生學好線性代數的欲望，還能培養學生積極的自我學習管理能力。最后，加強作業的改革。作業不僅是教員檢查學生掌握知識的程度和發現問題所在的重要參照，同時也可以利用作業，扭轉學生在課外時間學習線性代數的熱情低的現狀。例如在日常作業中添加一些具有應用性和開放性的題目，學生無法獨立完成，但可以通過查詢資料或者與其他同學合作才能完成的作業，學生最終是以兩三人或者小組形式提交一份共同完成的作業。引導學生關注數學的學習方法、思想和精神，引導學生正確認識數學、親自體驗數學、熟練掌握數學，這樣學生才會對數學產生濃厚的學習興趣，為培養學生的創新能力、探究能力和自學能力奠定基礎。比如特征值在谷歌搜索引擎中的應用，線性方程組在數學建模中的應用。

線性代數與中學數學的過渡實質上是一種新的學習環境對原有學習環境、一種新的知識體系對原有知識體系的順延。二者的過渡對學生來說影響尤為深遠，有效的過渡可使學生在新舊數學學習上形成較好的連續性，克服知識和方法上的跳躍，利于激發學生學習數學的興趣。每一位有責任心的數學教員都應努力探索教學過渡的具體方法，使線性代數以至于大學數學的教學質量得到進一步的提高。

參考文獻

篇8

線性代數及微積分（常稱為高等數學）、概率論與數理統計是當今大學生三門必修數學課.由于中學數學教材改革和新課標的實施，微積分和概率論與數理統計課程中的部分知識點已經在學生的高中階段都有所接觸，而且這兩門課的大部分知識都有較為豐富的背景和應用范圍.相比而言，線性代數中的行列式、矩陣概念對學生是全新的，沒有在中學接觸過的，就現行的大量教材來看，線性代數在內容安排上，顯得邏輯性、抽象性有余，而背景性和應用性不足.加上線性代數一般都安排課時較少，所以使得學生對線性代數課程的學習更加吃力，達到的教學效果也不盡理想.本文探討在不改變線性代數課程內容體系的前提下，如何改進課堂教學方法，以達到更好的教學效果.

一、教學中必須把握兩條主線

如前所述，與其他兩門數學課程相比較，線性代數的教材編得更為抽象，更加遠離現實.學生通常會覺得概念、定義多，而且由于缺乏背景，一般會顯得零散，各種概念之間的聯系也較難把握.在課堂教學中，必須把握線性代數課程的兩條主線，才能把這些大量的概念連起來，形成一個整體.

1.第一條主線是線性方程組

求解線性方程組是線性代數課程的一個主要任務，將中學的消元法經過一次抽象，就是線性代數中矩陣的初等變換概念.根據各種方程組的特點，形成了線性代數課程中一系列概念和方法.當未知數個數與方程的個數相等的時候，行列式可以派上用場，于是引出了行列式的初等變換、求值、克萊姆法則等相關概念.對一般的線性方程組，我們用秩來描述“真正起作用的方程的個數”，方程組的有解無解，有唯一解還是無窮多解，自由未知量的個數，都可以用系數矩陣的秩和增廣矩陣的秩來理解了.為了對無窮多解有更深入的認識，把方程組的解看成向量，對齊次線性方程組，就需要引入向量空間的概念，這樣就不難理解線性相關與線性無關、最大線性無關組這一連串的概念了.可見，抓住了線性方程組這條主線，就可以把行列式、矩陣、向量組這些概念合理地聯系起來了.

2.第二條主線是二次型的標準化

解析幾何中很重要的一個主題就是要把一些二次曲線方程化為只含有平方項的二次型，以便研究曲線的類型，這就是我們所謂的二次型化為標準二次型.利用矩陣這一工具來完成這個過程，需要從矩陣的特征值和特征向量出發，來討論實對稱矩陣的對角化問題.線性代數課程一般給出了三種化二次型為標準二次型的方法，著重討論的是用正交變換的方法.

在課堂上，抓住這樣兩條主線，不但可以避免概念的零碎，而且對學生掌握線性代數整個課程體系也是非常有幫助的.

二、在課堂上引入幾何的觀點來介紹代數知識

大部分線性代數教材都從知識結構的邏輯性來安排內容，使得代數知識以抽象的面孔出現在學生面前.事實上，在中學階段，學生學習初等代數時，是非常注重代數與幾何之間的結合的.數形結合不僅有利于降低學生的理解難度，也是掌握代數思想的一個必然要求.如何用幾何的觀點來學習代數，是一個在線性代數的課堂教學中值得思考的問題.

（5）的解即為方程組（2）的滿足整體誤差最小的近似解，這就是最小二乘法求最優近似解的結果.從上面的例子可以看出，直觀的幾何意義使得很多推算得到了簡化，更能讓學生加深對概念和方法的理解.

三、從代數發展歷史的角度來講線性代數課程

前面提到，大部分教材的編排由于注重嚴格系統化的形式推理，都不可避免地使線性代數抽象性特征明顯，我們在課堂教學中，不妨靈活處理知識的來龍去脈，站在從知識發展的歷史的角度來認識這門課程，這也是引起國外越來越多大學重視的一種教學方式.SpringerVerlag出版社出版的大量大學數學教材，就是基于這一觀點來編寫的.2008年，普林斯頓大學出版社出版了《普林斯頓數學指南》（the Princeton Companion to Mathematics），這是一本數學綜合類的普及讀物，全書共有一千多頁，盡量用淺顯的語言，把現代數學知識的來龍去脈解釋清楚.在線性代數的課堂教學中，如果能借鑒這種從知識產生歷史角度來講授知識，不僅能讓學生理解知識之間的內在聯系，更為可貴的是，能把很多數學大家當時對這些數學問題的思考過程呈現在學生面前，對學生創造性思維的形成過程大有益處.

四、結 語

線性代數課程由于其自身的特征給教學帶來一定的難點，如何在不改變課程知識體系的前提下，達到較好的教學效果，讓學生能在抽象的代數學習中，接受知識，形成創造性思維方式，提高數學能力和素養，是每個大學數學教師面臨的一個重要課題.本文從教學實踐中，結合國內外相關的數學教育理論，提出了幾條相應的措施.要提高教學質量，需要長時間在實踐不斷去完善教學手段和教學方法，唯有高質量的課堂教學，才能保證線性代數課程較好的教學效果.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系編.線性代數[M]（第六版）.北京：高等教育出版社.

[2]楊小遠，李尚志.大學一年級學生創新能力培養探索與實踐[J].大學數學，2012（4）：13-21.

篇9

線性代數是數學的一個重要分支，其計算技巧與數學理論對自然學科和數學學科本身的發展起著重要作用，它不僅是一門非常好的數學課程，而且是一門非常好的工具學科，在很多領域都有廣泛的用途。同微積分一樣，它是高等數學中兩大入門課程之一，是大學理工科和部分文科專業主要的基礎課程。它的理論和方法無論是對學生知識結構的完善還是對學生綜合素質的提高，以及創新能力的培養都有著十分重要的作用。線性代數的教學效果直接影響學生在實踐中應用數學的能力。筆者結合自己十幾年來的教學實踐，從課前備課、課堂教學及課后作業批閱三個方面就如何增強線性代數教學效果談談體會。

一、認真準備，精心備課

上課前充分備課是上好課的前提，要提高課堂教學質量和效率，首先要抓好備課這一環節。大量的教學實踐表明，教師在備課上所花的工夫直接影響授課質量。就同一任課教師來說，進行觀摩教學時教學效果一般都比平時好，原因并非觀摩教學時教學能力高，而在于教師備課比平時充分得多，進行了認真的籌劃和精心的設計。針對線性代數課程學時少、概念多、抽象度高、思維方式獨特的特點，教師要在教學過程中既保證數學原理的傳授，又使學生及時掌握主要的解題方法，就必須認真地籌劃和精心地設計每一節課的每一個知識點。

要備好課，首先要熟悉教材的整體構架。具體地指，這冊教材是怎么樣編寫的，它是以怎么樣的脈絡為主線的，主要內容有哪些，分為幾大版塊，每個版塊由哪些具體的內容構成。只有對教材框架熟悉，我們才可以創造性地加工教材，對教材科學地重組、合并、添加及刪除，讓教材符合學生的實際，符合學生的口味。這就是說，我們要“用教材教”，而不是“教教材”。例如大多數線性代數教材講行列式的時候，開始都是以2階與3階行列式引入一般行列式的定義的，如文獻[1]和[2]。如果嚴格按照課本章節，那么2階節行列式還容易讓學生記住，但是3階行列式對于大多數學生來說，不但有的6項不容易記住，而且常會為這些項的正負號糾結。如果熟悉了教材的整體框架，知道這不過是為了引入行列式一般概念而設的章節，就完全可以跳過這部分內容，直接從逆序數引入行列式的一般定義，然后再用一般定義看2階與3階行列式，這樣容易讓學生接受。

要備好線性代數課程，還要事先對所教的學生情況有所了解。現行的線性代數教材大多是老版本，但是中學教材施行的是新課程標準，這就造成大學教材與中學教材脫節的情況，即使是最近出版的線性代數教材也有這種情況。如在線性代數教材中講到全排列與逆序數的時候，都是默認學生學過簡單的排列組合知識的。但是，實際上這部分知識點有些中學是不作要求的。老師在處理與這部分內容相關的知識時，要清楚班級到底有多少人知道這一知識點，根據具體情況適當增加一些排列組合的知識，這樣更有助于學生理解所教內容。

最后，每次備課都要針對此節課知識點精心設計一些課后習題留給學生完成。著名數學家華羅庚曾說：“學數學不做題，如入寶山而空手歸。”足見解題對深刻理解數學知識和方法的重要性。線性代數課程的特點是學時少、概念多、抽象度高，課后如果不盡心設計一些習題，則學生很難真正掌握所學知識點。如在線性空間這一章節中，不少學生對線性空間的概念感到很迷茫，難以想象，但是課本[1]上用定義驗證線性空間的題目只有針對2階矩陣的驗證是否為線性空間的三個小題。如果只用書本上的作為習題，一是驗證類型太單一，二是量比較少，因而在這一知識點上，我會增加一些課本之外的用定義驗證線性空間的習題。實踐證明，通過適量做題，學生對線性空間的概念認識有所提高。

二、充滿激情，組織教學

為了更好地組織課堂教學，首先我們必須盡力地營造和諧活躍的課堂氛圍。要營造活躍的課堂氛圍，教師一定要用自己的話（要講出自己的理解）講授課程，不照本宣科，語言不僅要生動、形象，還要幽默。學生只有在寬松、和諧、自由的環境中學習，才能思路開闊，思維敏捷，才會主動參與到教學過程中。好課堂是充滿真情與激情的課堂，一堂缺乏激情的課是無法引起學生共鳴的課。這里所說的激情，就是老師課堂上內容表達清晰、用語抑揚頓挫、全身心投入講課、滿腔執情地與學生互動。師生的良性互動不但會提高學生的學習積極性，而且會提高課堂教學效率。例如講消元法解線性方程組時，對于3元或4元線性方程組，因為學生在中學就有接觸，所以我讓不同的學生講這些內容，并先讓學生自己點評總結。學生面對學生，可以無拘無束地發表自己的見解，同學之間的討論、爭辯、交流大大調動了學生學習的積極性。在學生討論交流后，我最后給出用矩陣初等變換的方法進行消元的教學內容。這樣的學習方式，不僅能活躍課堂氣氛，而且能激發學生的創新意識。

其次，要更好地進行課堂教學，還要理解學生，與學生做朋友。理解學生就是要知道隨著高校的擴招，一些高等院校在努力探索自己的生存與發展的同時，接收了一些低分數考生。這些低分入學的同學的基礎比較差，以至于我們經常會遇到這樣的情況――一個簡單的定義或者結論，有部分同學無論如何解釋都不懂。在這種情況下，教師首先要有耐心，理解他們為什么才會這樣。有了這樣的理解為基礎，學生才有可能將你當做真正的朋友。心理學研究表明，學習興趣是學習積極性中最現實、最活躍的成分。而學生對某學科有興趣在一定程度上取決于對任課老師喜歡的程度。所以，當學生將你作為他的朋友時，他在一定程度上就會喜歡你所教的這門課程，在學習中就會充分發揮自己的主體作用。

再次，適當應用多媒體進行課堂教學。對于多媒體在教學中的使用，我覺得目前不少高校出臺的各種政策與采取的措施有些激進，在教學質量學生與專家的測評表中、各種級別的講課比賽中，把是否運用多媒體作為衡量教學水平的指標之一，在客觀上產生一種過高定位多媒體作用的傾向。實際上，傳統的板書模式有著多媒體不可替代的功效，學生可以從板書過程中解讀出教師對所寫內容的理解思路，進而促進對這部分內容的學習。在教學過程中大量使用多媒體，追求講授速度，而不給學生充分思考的時間，這樣不利于培養學生的創新思維，不利于培養學生的數學能力；況且在有限的教學時間內，學生接受知識的容量也是有限的。擴招后，數學課一般是大課，然而我們的多媒體教室只有不到兩平方米的黑板，教師板書受到限制；即使教室有黑板，多媒體屏幕又一般設置在教室正前方，屏幕一拉下來，黑板便占去了一大半，留下的可用版面很小。這種多媒體教室實際上充當了強迫教師完全使用多媒體進行教學的角色，它使得數學教學效果大打折扣。因此，在線性代數教學過程中，只有對一些內容簡單的章節，例如線性空間的定義，我才會將基本定義、定理的內容打上屏幕，證明及解釋過程則板書；而那些學生不容易掌握的較難的章節，則使用多媒體教學。

最后，為了更好地達到預期的教學效果，每次課堂教學快結束時，我都會預留5到8分鐘，對本次課堂教學內容進行總結。實時小結，有助于學生掌握課堂教學內容。如講完正定二次型這一小節內容時，可以預留點時間，引導學生寫出正定二次型（或正定矩陣）的所有等價命題，并用框圖給出，這樣學生可以更清楚各個命題之間的聯系，從而加深對正定二次型的理解。

三、用心批閱，及時反饋

課堂教學結束，線性代數課程教學并沒有就此結束。教師還得用心完成預留作業的批閱，并及時反饋作業情況給學生才算完成一次完整的教學過程。作業的批閱如同課堂教學一樣是學校教學工作中的一個重要環節，有著無法替代的特殊作用。它不但可以及時檢驗學生學習的情況，讓我了解他們存在的不足和需要重視、改進的地方，為如何組織下一課的教學提供有力的依據，還可以因材施教，為每一個學生的教育、培養提供參考意見。通過作業，我及時發現在剛結束的課堂教學中存在的問題并想辦法解決問題。如果錯的是少數同學，我就會在學生出錯的地方寫出正確的解答過程。如果大部分人都犯類似錯誤，我就會在下次課堂教學時進行集體訂正。例如在求解齊次線性方程組的時候，我通過作業發現不少學生在求基礎解系的時候不知到怎樣尋求，于是我就在下次課上把如何求解基礎解系重新講解一遍。

同樣，通過認真批閱作業，能夠幫助學生正視自己，提高學習效率。作業是學生在學完每一節課后檢驗自己學習情況的一種有效手段和方法，是學生自己的學習成果。學生可以從自己的作業成功中獲取自信心，進而激發對線性代數學習的興趣。

通過作業的用心批閱，能夠拉近師生距離，建立良好的師生關系。教師認真批閱學生作業的這種敬業精神會在一定程度上感染學生。我在批改作業時做到一視同仁認真對待，無論是對成績較好的學生還是成績不理想的學生交上來的作業都一絲不茍、認真批閱。

總之，批改作業是每個教師都必須重視并認真對待的重要工作環節，它為提高教學質量、建立良好的師生關系提供了有利條件，在教學教學作中有特殊作用。教師一定要本著為學生服務、為教育事業服務的精神，兢兢業業，認真批閱學生的作業，耐心教育引導他們在完成作業的過程中樹立良好的學習態度和習慣，為努力學習科學文化知識打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.工科數學：線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

篇10

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）32-0196-02

隨著科學技術的發展和計算機的廣泛應用，《高等數學》和《線性代數》的作用越來越重要，它們是高等院校培養應用型人才重要的數學基礎課。《高等數學》主要學習的是微積分方面的知識，《線性代數》主要學習的是幾何方面的知識。由于課程內容的不同，部分高校在課程安排上往往一個教師要么只教《高等數學》，要么只教《線性代數》，從而在教學時往往忽略了引導學生去思考這兩門課程中的一些相通性。實際上，看似兩門完全不同的課程之間實有許多相通之處，而讓學生了解和掌握這些相通性不但有利于更好地掌握這兩門課程，而且還可以培養學生發現、思考和總結的能力，所學知識真正做到融會貫通。

幾年來，筆者一直在教學一線，既承擔《高等數學》的教學，也承擔《線性代數》的教學。在教學實踐中，筆者發現和總結了一些這兩門課程的相通性，下面介紹幾點。

一、《高等數學》和《線性代數》課程中部分定義和結論的相通性

4.方程解的結構。在《線性代數》中，當非齊次線性方程組Ax=b有無窮解時，其解可以表示為對應齊次方程組Ax=0的通解加上非齊次線性方程組Ax=b的一個特解。在《高等數學》中，非齊次線性微分方程的通解也有類似的結構，即也可表示成對應齊次微分方程的通解加上非齊次微分方程的特解。線性方程組和線性微分方程除了解結構類似外，解的性質也完全一樣。

二、《高等數學》和《線性代數》課程中部分量運算的相通性

在《線性代數》中有一個重要的量――矩陣，故對矩陣的運算作了大量的介紹，有矩陣的加法、矩陣的減法、矩陣的乘法，但是沒有矩陣的除法這一說法。在《高等數學》中，極限部分有個關鍵量無窮小，兩個無窮小相加、相減、相乘仍然是無窮小，但是兩個無窮小相除不一定是無窮小。這個特點和矩陣的運算特點類似，即對除法運算的特殊性。矩陣無除法運算，無窮小相除不一定為無窮小，它們雖然沒有除法運算或性質對除法運算的不成立性，但是它們都有特殊的運算來代替，矩陣有矩陣的逆運算，無窮小可以通過相除來比較無窮小的階數。

三、《高等數學》和《線性代數》課程對學生逆向思維培養的相通性

逆向思維是從原問題的相反方向、否定方向或已有思路的相反方向進行思考的一種思維。它反映了思維過程的間斷性、突變性和多向性，有利于培養思維的靈活性，常常可以幫助學生尋找新的思路、新的方法，開拓新的知識領域。在《高等數學》和《線性代數》課程中，都大量存在對定理、結論的逆否命題的采用，因而兩門課程在培養學生的逆向思維能力方面具有相通性。我們來看幾個例子。

命題1：如果齊次線性方程組的系數行列式不等于零，則齊次線性方程組只有零解。而在實際的解題過程中，往往用其逆否命題：如果齊次線性方程組有非零解，則齊次線性方程組的系數行列式等于0。

命題2：如果向量組中有一部分向量（部分組）線性相關，則整個向量組線性相關。在向量組中相關性判斷中，也常常用到其逆否命題形式。線性無關的向量組中的任何一部分組皆線性無關。再比如，若向量組線性無關，則其升維組也線性無關。其逆否命題：若一個向量組線性相關，則其降維組也線性相關。這些結論在線性代數學習中是比較難以區分的，若弄清楚兩兩之間的關系，不但有利于逆向思維的培養，而且學習起來也會事半功倍。

上面只是列舉了這兩門課程中的幾個例子，實際這種逆向思維的訓練在兩門課程中還有很多。文獻[1]中還介紹了利用反例、反問題等來培養學生的逆向思維。

線性代數與高等數學是大學數學的兩門重要基礎課，雖然這兩門課解題方法有些差異，卻密切相關。除了上面介紹的幾個方面外，還在很多方面都有內在的滲透[2-7]。例如二次型在函數極值、不等式中有著重要的應用，線性空間理論也可用于數列極限的求解，矩陣、行列式在高等數學中的向量積、混合積、旋度、Stokes公式等知識點中都有具體的應用。而另一方面，高等數學中的許多內容，譬如函數的連續性、導數等都可廣泛地應用于線性代數眾多章節之中。教師在教學過程中應該抓住這些相通性及相互滲透的知識點，將這兩門課的內容更好地交叉、融合。

參考文獻：

[1]袁秀萍.線性代數教學中逆向思維能力的培養[J].科教文匯，2014，（294）：42-44.

[2]桑旦多吉.線性代數方法在高等數學解題中的應用[J].求知導刊，2015，（7）：126-127.

[3]米永生，梁靜.線性代數方法在高等數學中的滲透[J].石家莊學院學報，2007，9（6）：17-21.

[4]董曉妃.線性代數方法在搞定數學解題中的應用思考[J].科技創新導報，2015，（19）：155-157.